Matemaatik: tunnis ette antud arvutusülesannete lahendamine on ajaraisk ({{commentsTotal}})

Keith Devlin leiab, et matemaatik pole tänapäeval enam kõikide
Keith Devlin leiab, et matemaatik pole tänapäeval enam kõikide "pillide" mängija orkestris, vaid hoopis dirigent, kes matemaatiliste "pillidega" ümber oskab käia. Autor/allikas: Erakogu

Meie koolides õpetatakse matemaatikat viisil, mis on olnud vajalik sadu aastaid, kuid mis ei arvesta sellega, et tänapäeval on arvutid, mis suudavad meie eest arvutada ning palju olulisem oleks lihtsalt matemaatikast aru saada. Nii leiab Stanfordi Ülikooli matemaatikadotsent Keith Devlin.

Devlin on matemaatika populariseerija ning Stanfordi Ülikooli humanitaarteaduste ja tehnoloogiate uurimisinstituudi (Human-Sciences and Technologies Advanced Research Institute, H-STAR) üks asutajaist ning tegevdirektor. Eelmisel nädalal pidas ta Tallinna Tehnikaülikooli visioonikonverentsil loengu sellest, kuidas kasutada matemaatikat igapäevaelu probleemide lahendamisel.

Alustame näitega. Kui laps läheb Eestis kooli, siis on tal tunniplaanis nii matemaatika kui ka programmeerimine. Kumba ainet ta rohkem omandab?

Põhimõtteliselt ei peaks sel üldse vahet olema, sest need on oma olemuselt väga sarnased. Mõlemal on üsna sarnased probleemilahendused ning need nõuavad samasuguseid oskusi. Tegelikult ei peaks neil kahel õppeainel üldse erinevust olema, kuigi seda eristust tehakse nii USAs kui Eestis. Me õpetame koolides jätkuvalt matemaatikat, mis oli oluline 19. sajandil, kuid mitte enam praegu.

Programmeerimise puhul võib koolidest ikka ja jälle leida tunde, kus õpetatakse spetsiifilisi programmeerimiskeeli. Kuid möödas on ajad, mil teatud üksikute programmeerimiskeelte teadmine oli vajalik. Praegu on palju olulisem osata panna koodi kokku erinevatest koodijuppidest, mida teised on kirjutanud. Sama käib matemaatika kohta.

Matemaatikatunnis ette antud arvutusülesannete lahendamine on ajaraisk. Me ei tee selliseid ülesandeid aritmeetikas või algebras – me ei tee neid enam päris elus, sest arvutid teevad need arvutused meie eest ära.

Tänapäeval võtame arvutites olevad algoritmid appi, et lahendada meie igapäevaelu probleeme. Minu ajal oli matemaatikatund nagu orkestrimängu õppimine, ainult et ära tuli õppida iga pill, mis orkestris mängis. Matemaatikas pidid "pillidena" ära õppima näiteks aritmeetika, geomeetria, algebra, diferentsiaalvõrrandid.

Tänapäeval ei pea õppima neid "pille" mängima, tänapäeval on matemaatikud dirigendid. Me peame teadma, kuidas need "pillid" töötavad. Meil on kõiki neid pille võimalik kasutada tasuta internetis, need on kõik saadaval.

Osata mängida kõiki pille või osata juhatada orkestrit – need nõuavad väga erinevaid oskusi. Matemaatikas on sama moodi.

Kooliõpilasena suutsin ära teha eksamid, ilma et oleksin aru saanud, mida ma teen. Ma õppisin reeglite järgi lahendama ning see oli igav ja tüütu. Aga kuna mind huvitas matemaatika siiski ka pärast eksameid, sain aru, et ma ei peagi kõiki neid lahenduskäike oskama sellisel määral, pean lihtsalt aru saama, milleks neid kasutada.

Kui paneme õpilase tegema matemaatikaülesandeid, sunnime inimest olema arvuti. Arvutid teevad küll keerulisi tehteid, kuid on oma olemuselt rumalad, sest nad teevad seda, mida inimene on neile ette öelnud.

Me pidime algebra ja geomeetria ülesandeid selliselt tegema aastatuhandeid, sest meil ei olnud arvuteid. Aga alates 1980ndatest on meie käsutuses tehnoloogia, mis suudab seda kõike teha meie eest, palju kiiremini ja oluliselt vähemate eksimustega.

Peame tegema matemaatika õpetamises suure muutuse. Selle asemel, et õpetada tegema tehteid lahenduse jaoks, peame suutma panna õpilasi neist aru saama, et ta ühtlasi teaks, kuidas kasutada arvutit, kes selle arvutuse teeb.

Kas te ütlete, et me ei peaks koolis seda 19. sajandi matemaatikat õpetama?

Me peaksime seda õpetama teisiti. Lõpuks on see seesama matemaatika, aga me ei peaks seda õpetama ülesannete lahendamise kaudu, vaid kuidas kasutada arvutit nendeks ülesanneteks.

See on nagu auto omamine. Selleks, et autoga sõita, pole vaja õppida, kuidas autot teha või isegi seda remontida. Selleks, et olla hea juht, pead teadma, mida teevad auto juures mootor, käigukast või pidurid. Sama on matemaatikaga – tuleb õppida nii palju, et saada aru, kuidas seda kasutada. Seda tuleb teistmoodi õppida ja teist moodi õpetada.

Kahe nädala eest tegin Vikerraadio jaoks tänavaküsitluse, milles uurisin inimestelt faktide kohta, mida nad on koolis õppinud, kuid mida neil ei ole kunagi vaja läinud. Mis te arvate, mida nad vastasid?

Ruutvõrrandid?

Peaaegu. Nad vastasid, et enamikku keskkoolis õpitud matemaatikast ja füüsikast ei ole neil vaja läinud. Miks see nii on?

Sest matemaatikat on sadu aastaid õpetatud faktide, valemite ja tehete pähe õppimise kaudu. Selleks, et teha arvutusi, oli vaja see kõik pähe õppida, sest iga kord tehte või funktsiooni järgi vaatamine oleks võtnud väga palju aega.

Aga me ei pea praegu neid fakte enam pähe tuupima, sest meil on Google ja Vikipeedia. Küll aga me peame teadma, mida otsida. Omal moel peame neid samu asju teadma, kuid teisel moel. Me peame saama aru, milliseid abivahendeid kasutada, et jõuda soovitud tulemuseni.

See on sarnane nagu nutitelefoni kasutamine. Selleks, et mingist teenusest abi saada, pead teadma, mida konkreetne nutirakendus teeb.  

Võtame näiteks jagamise. Paljud ei saa sellest sisulises mõttes üldse aru, kuid nad oskavad seda tehet teha arvutiga. Oluline on saada aru, kuidas jagamine käib ja kus seda kasutada.

Kui vanasti oli funktsiooni selgeks saamiseks vaja ära lahendada mitusada tehet, siis praegu piisab viiest. Selle viie tehtega saad aru, kuidas matemaatiline loogika tehte taga toimib ning sealt edasi võib juba edasi lasta arvutada arvutil.

Tuleme tagasi programmeerimisel juurde. Sageli seisneb lastele mõeldud programmeerimismäng näiteks selles, et "ütle punasele pingviinile, et ta hüppaks üle tühja ruudu, juhul kui…". Laste jaoks on see mäng, millest reaalne programmeerimine erineb väga palju. Kas lapsed ikka saavad aru, mida nad sellest mängust õpivad?

Rääkige ükskõik millise programmeerijaga – nad ütlevad, et ka nemad mängivad. Kui ma tegelen matemaatikaga, siis ma mängin. Kui keemik teeb katseid, siis ta mängib. Professionaalid mängivad kogu aeg, sellepärast meid professionaalideks kutsutaksegi.

Mängimine on evolutsiooniliselt inimesele omane õppimise viis. Loomad ja lapsed teevad seda sama. Seega on ka programmeerimismäng õppimine.

Mängus on alati olemas ka tagasiside- ja tasustamise süsteem. See ärgitab uuesti proovima ja selle kaudu õppima.

Te soovitate, et peaksime koolis kasutama rohkem interaktiivseid mänge. Nende probleem on aga selles, et pole võimalik hästi hinnata kui palju ja mida laps täpselt õppis. Mida te selle peale vastate?

Digitaalne mäng mõõdab tegelikult kogu aeg mängija sooritust. Ma aitan välja töötada ka õppimiseks mõeldud videomänge. Ja kui ma vaatan mängu käigus mängija kohta tulevaid andmeid, siis oskan nende põhjal lapse matemaatikateadmiste kohta öelda palju rohkem kui ükski õpetaja testi põhjal oskaks.

Õpetajad mõõdavad laste teadmisi kontrolltöödes sageli valikvastuste, lünkteksti või arvutusülesannetega. See test ütleb vaid, kas laps sai õige või vale vastuse. See ei ütle midagi selle kohta, kuidas laps sellest ülesandest või teemast mõtles või kuidas ta probleemi lahenduseni jõudis.

On muidugi mänge, kus laps lihtsalt vastab küsimustele, kuid see ei erine kuidagi eelmainitud teadmistekontrollist. Kuid hästi arendatud mäng kätkeb endas erinevat laadi probleemilahendusoskust ning iga klahvivajutus ja mängus liikumine võimaldab algoritmide abil analüüsi. Selle põhjal saab juba öelda, kas õppija on detailides sügavuti mõtleja või hoopis erinevaid lahendusviise katsetav, kui palju õppija uuesti proovib, kui palju ta vigu parandab ja nendest õpib.

Kohati on suisa hirmuäratav, kui palju infot me mängija kohta saame, meil justkui oleksid õppija ajus andurid. Mängupõhisel õppimisel on tohutu hulk viise tulemuste mõõtmiseks.

Õpetajad ja ka õpilased on kimpus hoopis sellega, et meie koolides mõõdetakse teadmisi standardiseeritud testidega. Ma usun, et ühel päeval kirjalikud standardiseeritud testid kaovad ja koolides suudetakse minna üle mängupõhise õppimise mõõtmisele. Aga praegu toimime korraga kahes süsteemis, mis üksteisega hästi ei kohaldu.

Need mängud, millest te räägite sobivad rohkem algkooli lastele. Kas on võimalik matemaatikat õpetada ja teadmisi hinnata mängude kaudu ka keskkoolis ja ülikoolis?

Keskkoolis ja ülikoolis jäävad alati ka kirjalikud standardiseeritud testid, sest tegu on kõrgema taseme matemaatikaga. Keskkoolis ja ülikoolis on vaja teada, kuidas kasutada erinevaid vahendeid, mis teevad arvutusi sinu eest, üks nendest vahenditest on ka pliiats ja paber. See võimaldab näidata, kuidas inimene oskab taasesitada sümbolilist abstraktsiooni.

Kui ma teen matemaatikat, siis kasutan samuti paberit-pliiatsit, ehkki arvutused lasen teha arvutil.

Kuid hästi oluline on matemaatikahuvi säilitamine teismeeas, 12–13-aastasena ja selleks on mängud väga head. Need võimaldavad kordamist aga ka pidevat põnevust uuesti ja uuesti proovimisest ja mitte läbikukkumisest.  

Ja mängu lõpus ütleb arvuti "Mäng läbi, proovi uuesti!", mitte ei saa vastuseks "Hinne: 2".

Just. Küsige inimeste käest, miks neile matemaatika ei meeldi. Nad enamasti vastavad, et neile ei meeldi läbikukkumise ja ebaõnnestumise tunne, mille nad valest vastusest saavad. Mängus ebaõnnestutakse pidevalt, aga see tekitab teistsuguse tunde. Ma saan matemaatikaga tegeledes üheksal korral kümnest vale vastuse, kukun üheksal korral läbi. Aga mulle jätkuvalt meeldib matemaatika, sest see on mäng. Ma ei ebaõnnestu elus, vaid matemaatikas ja ebaõnnestmine on osa lõbust.

Te pidasite TTÜs ettekande teemal, kuidas matemaatikaga reaalelulisi probleeme lahendada. Tooge nüüd üks näide, kus lahendate matemaatika abil ära keeruka ja mitmetahulise igapäevaelu probleemi.

Ma olen USAs keskkoolinoortele andnud sellise ülesande. Ühed olulisemad ja salajasemad algoritmid maailmas kalkuleerivad kullerfirmade logistikat. Me teame, et kui saadame paki, siis saatmise hind sõltub sellest, kui kiiresti pakk sihtkohta jõuab. Me saame seda pakki reaalajas kogu aeg jälgida. Kuidas kullerfirmad, näiteks UPS või FedEx seda teevad?

Kahe kolmetunnise õppetunni jooksul peavad õpilased meeskondadena välja arvutama, kuidas kullerfirmad seda teevad.

Me tuletame algoritmi kasutades selleks paki saatmise andmeid. Selles tehtes on tuhandeid muutujaid ja palju arvutusi. Seega andmed peegeldavad seda algoritmi.

Arvesse tuleb võtta lähte- ja sihtkohta, vahepeatusi ja transpordiviise, kulu tuleb arvestada nii, et see oleks võimalikult odav – sa tahad, et saadetis veedaks lennukis ja õhus võimalikult vähe aega ja et lennuk oleks maksimaalselt täis. Samas laos seistes on kulu nullilähedane ja selle aja saab kasutada ära, et arvutada välja tõhusaim viis saadetise kohaletoimetamiseks.

Õpilastel on kasutada terve rida tasuta kättesaadavaid rakendusi, et see välja arvutada. Ülesande jooksul saavad nad mu käest ka nõu küsida, kuid lahenduseni peavad ise jõudma. Oletame, et neil tekib mingi konkreetse arvutuse kohta küsimus, siis annan neile näiteks vihje: lineaarne programmeerimine. Nad Googeldavad, saavad teada, et Vikipeedia annab neile infot, kuid vaja oleks rohkem selgitust. Siis jõuavad nad infot otsides hoopis YouTube'i, kust nad leiavad juba tuhandeid videoid selle arvutuse kohta.

See on reaalne igapäevaeluline probleem ja enamik suudab selle ära lahendada.



ERR kasutab oma veebilehtedel http küpsiseid. Kasutame küpsiseid, et meelde jätta kasutajate eelistused meie sisu lehitsemisel ning kohandada ERRi veebilehti kasutaja huvidele vastavaks. Kolmandad osapooled, nagu sotsiaalmeedia veebilehed, võivad samuti lisada küpsiseid kasutaja brauserisse, kui meie lehtedele on manustatud sisu otse sotsiaalmeediast. Kui jätkate ilma oma lehitsemise seadeid muutmata, tähendab see, et nõustute kõikide ERRi internetilehekülgede küpsiste seadetega.
Hea lugeja, näeme et kasutate vanemat brauseri versiooni või vähelevinud brauserit.

Parema ja terviklikuma kasutajakogemuse tagamiseks soovitame alla laadida uusim versioon mõnest meie toetatud brauserist: