Einstein ja de Sitter 100 aastat tagasi

Albert Einstein (1879–1955) pidas üldrelatiivusteooria alused rajavad ettekanded 1915. a novembris, pikema artikliga tutvustas ta seda uut teooriat järgnenud suvel. Einsteini käsitlus vaatles gravitatsioonijõudu kui aegruumi mittetasase geomeetria ilmingut, vastavat matemaatilist alussuurust nimetatakse meetrikaks. Hoolimata I maailmasõja keeristest jätkas ta oma teooria järelduste uurimist ning muuhulgas näitas gravitatsioonilainete võimalikkust. Nende otsene detekteerimine õnnestus alles tunamullu, pea sada aastat hiljem. Kosmoloogilise konstandiga on aga lood veel keerulisemad.

Lugu algab Einsteini sooviga rakendada oma teooriat ka universumile tervikuna. Toonase arusaama järgi oli universum staatiline, kuivõrd tähed paistsid olema jaotunud ilmaruumis enam-vähem ühtlaselt ning eksisteerinud sellistena miljoneid või miljardeid aastaid. Kui vaadata piisavalt suurt ruumi piirkonda, siis võib hajali asuvaid tähti kirjeldada nende keskmise tihedusega. Niisuguse olukorra modelleerimiseks sisestas Einstein oma võrranditesse ruumis ühtlase mateeria tiheduse ja ootas, et võrrandid kinnitaksid sel juhul staatilist, st ajast sõltumatut aegruumi meetrikat.

Paraku see ootus ei täitunud, sest võrrandid jäid ajast sõltuvaks. Võimaliku lahenduse probleemile pakkus Einstein välja 8. veebruaril 1917 Preisi Kuninglikus Teaduste Akadeemias peetud ettekandes, mille tekst ilmus akadeemia toimetiste veebruarinumbris. Selles nn Einsteini staatilise universumi mudelis on ühtlase mateeriaga täidetud universum ajas lõpmatu, kuid ruumis lõplik ja 3-mõõtmelise sfääri geomeetriaga. Oskame kergesti ette kujutada 2-mõõtmelist sfääri 3-mõõtmelises ruumis (nt pall), ja teame, et selle pindala on lõplik, ehkki ääred puuduvad. Sama moodi on 3-mõõtmeline sfäär äärteta, kuid lõpliku ruumalaga. Niisugune konfiguratsioon ei jää iseenesest veel Einsteini võrrandite järgi stabiilseks, vaid hakkab gravitatsiooni mõjul kokku tõmbuma, st 3-sfääri raadius hakkab ajas kahanema. Et tagada antud lahendi stabiilsus, pidi Einstein oma võrrandeisse juurde kirjutama ad hoc konstantse lisaliikme Λ, mis on pöördvõrdeline 3-sfääri raadiuse ruuduga ja töötab vastu gravitatsioonilisele kokkutõmbumisele.

Kõnealuse lahendi tagamaaks oli tegelikult veel üldisem küsimus inertsijõu päritolust. Isaac Newton (1642–1727) seletas inertsijõu ilmnemist keha liikumisega absoluutse ruumi taustal. Oponeeriv seisukoht oli pidada absoluutset ruumi fiktsiooniks ja lubada keha liikumisest rääkida ainult suhteliselt mingi teise materiaalse kehaga võrreldes. Viimast vaadet arendas eriti austria füüsik ja filosoof Ernst Mach (1838–1916), kelle vaated mõjutasid ka Einsteini relatiivsusteooria loomisel. Üldrelatiivsusteoorias on inertsijõud kenasti kodeeritud aegruumi meetrikasse ning aegruumi meetrikat omakorda mõjutavad kõik materiaalsed kehad, täpsemalt nende energia ja impulss. Einsteini staatilise universumi mudel paistab rahuldavat Machi printsiipi, sest kehade liikumise kirjeldus ja inertsijõud tulenevad aegruumi meetrika vahendusel ruumis paiknevast mateeriast tervikuna.

Neil teemadel oli Einstein juba varem vestelnud hollandi matemaatiku ja astronoomi Willem de Sitteriga (1872–1934), kes tollal oli Leideni ülikooli professor. Peale Einsteini artikli lugemist ja temaga kirjade vahetamist pidas de Sitter Madalmaade Kuninglikus Kunstide ja Teaduste Akadeemias 31. märtsil 1917 omapoolse ettekande, kus kommenteeris Einsteini hüpoteesi ning esitas vastukaaluks oma universumi mudeli. De Sitteri lahendis on aegruum 4-mõõtmeline sfäär, mateeria puudub ning võrrandites on samuti 4-sfääri raadiuse ruuduga pöördvõrdeline konstantne liige. Mudeli mõtteks oli näidata, et aegruumi mittetriviaalne meetrika saab üldrelatiivsusteooria järgi eksisteerida ka ilma ilma mateeriata, Machi printsiip ei ole ainumõeldav. Kuigi de Sitteri mudelis on 4-sfääri raadius ajas muutumatu, näitas hilisem analüüs, et selles geomeetrias hakkavad proovikehad teineteisest kiirenevalt eemalduma. Seega on positiivse kosmoloogilise konstandi üldine mõju võrrandites panna ruum kiirenevalt paisuma (kui seda just ei tasakaalusta muud liikmed, nagu Einsteini staatilises mudelis).

“Kuigi hiljem taandus Machi printsiip füüsikute aruteludes kaugele tagaplaanile, viisid rangelt matemaatikale tuginevad teoreetilised mõttekäigud huvitavate tulemusteni nagu kosmoloogiline konstant ja de Sitteri lahend, mis osutuvad aktuaalseks ka nüüd sada aastat hiljem,” märkis Tartu Ülikooli füüsikateoreetik ja teadusfilosoof Piret Kuusk.

Järgmised 80 aastat: kosmoloogilise konstandi varjusurm

Ometigi ei saanud 20. sajandi kosmoloogias valitsevaks ei Einsteini staatiline ega de Sitteri kiireneva paisumisega mudel. Juhtlõnga võttis üles hoopis Leningradis tegutsenud füüsik ja matemaatik Alexander Friedmann (1888–1925), kelle 1924. a ilmunud artiklid käsitlesid aeglustuvalt paisuva universumi mudeleid üldrelatiivsusteoorias ilma kosmoloogilise konstandita.

Just need mudelid paistsid olevat paremas kooskõlas ameerika astronoomi Edwin Hubble'i (1889–1953) paar aastat hiljem avastatud seadusega, mille järgi teiste galaktikate eemaldumise kiirus meie Linnutee galaktikast on võrdeline nende kaugusega. Belgia katoliku preestrist füüsikaprofessor Georges Lemaître (1894–1966) luges Einsteini võrranditest välja, et paisumisel pidi olema singulaarne algus ajas, ning ameeriklased Howard Robertson (1903–1961) ja Arthur Walker (1909–2001) esitasid vastava meetrika matemaatiliselt täieliku käsitluse. Selles nn Friedmanni-Lemaître’i-Robertsoni-Walkeri (FLRW) mudelis esindavad mateeriat nii tavaline aine kui kiirgus ning ajas paisuv 3-ruum võib olla sfäärilise (nagu algselt Einsteinil), tasase või hüperboolse (3-sadulpinna) geomeetriaga.

Edasised uuringud keskendusid sellele, kui palju on universumis tavalist ainet ja kiirgust ning milline on 3-ruumi geomeetria. Kosmoloogilist konstanti polnud vaatluste seletamiseks otseselt vaja.

 3-ruumi kõveruse variantide 2-mõõtmelised analoogid: sfäär, sadulpind ja tasand. Universumis on ruum vastava kõverusega kui universumi energiatihedus on kriitilisest tihedusest suurem (Ω>1), väiksem (Ω<1) või võrdne (Ω=1). Autor: Wikipedia

Puht-teoreetilise konstruktsioonina kosmoloogilist konstanti siiski täiesti ära ei unustatud. Juba Lemaître pani tähele, et põhimõtteliselt käitub kosmoloogiline konstant võrrandites kui üks äärmiselt veider mateeria tüüp tavalise aine ja kiirguse kõrval. Kui universumi paisudes tavalise aine energiatihedus väheneb pöördvõrdeliselt ruumimastaabi kuubiga (ruumala suureneb ja aine osakeste paiknemine muutub suurenenud ruumiosas hõredamaks) ning kiirguse energiatihedus väheneb pöördvõrdeliselt ruumimastaabi neljanda astmega (sest ruumi paisudes kiirguse lainepikkus suureneb ja sagedus väheneb, mis on võrreldes ainega täiendav energiat vähendav asjaolu), siis kosmoloogilise konstandi energiatihedust ruumi paisumine ei mõjuta. Kuna tihedus jääb konstantseks, siis selles mõttes tekiks ruumi paisudes kosmoloogilisele konstandile vastavat mateeriat justkui juurde. Veel enam, kui tavaline aine koguneb klompidesse, millest moodustuvad galaktikad, siis kosmoloogilise konstandi tihedus jääb ühtlaseks igal pool – veider, kas pole! Mis tüüpi mateeria küll sääraselt käituda võiks? Füüsikud sügasid kukalt ja taipasid, et see polegi põhimõtteliselt võimatu, nii võiks toimida kvantväljade vaakumi energia, mille juurde tuleme allpool tagasi. 

Üldrelatiivusteooria võrrandites, kus traditsiooniliselt geomeetriat kirjeldavad liikmed on vasakul pool võrdusmärki ja mateeria energia-impulss paremal pool, hiilis kosmoloogiline konstant nõnda vasakult paremale. Einstein kirjutas konstandi oma võrrandeis vasakule ning võttis seda kui maailma geomeetriat kirjeldava struktuuri osa. Kosmoloogiline konstant vaakumi energiatihedusena aga kuulub juba mateeria poole, see on miski, mis ise mõjutab aegruumi meetrika arengut.

“Konstandi viimine võrrandi vasakult poolt paremale, mis matemaatika mõttes on triviaalne samm, oli füüsika mõttes murranguline, sest see tähendas interpretatsiooni radikaalset muutust,” muheles Tartu ülikoolis teoreetilise kosmoloogiaga tegelev Margus Saal.

Kiirenevalt paisuv universum ja kosmoloogilise konstandi taassünd

Standardses FLRW kosmoloogias ilmnesid ajapikku nii mõnedki probleemid. Näiteks galaktikate tekke ja pöörlemiskiiruste jaoks peaks tarvis minema oluliselt rohkem ainet, kui seda tähtedes, gaasis, planeetides jne meile näha on (nähtamatut osa nimetatakse tänapäeval tumeaineks, aga see on juba eraldi jutu teema). Lisaks näitasid vaatlused, et ülimalt tõenäoliselt on universumis 3-ruum tasane, mis on aga eeldaks, et peale tumeaine peaks siin leiduma suures koguses veel mingisugust mateeriat, muidu ei klapi valemid kokku. Astronoome hämmastas ka see, et universumi vanimad tähed paistsid olema vanemad kui FLRW mudeli järgi arvutatud universumi vanus.

1998. aastal teatasid kaks supernoovasid uurinud rahvusvahelist astronoomide meeskonda uuest maailmapilti raputavast avastusest. Nad vaatlesid Ia tüüpi supernoovasid, mis sünnivad kaksiktähtede paarist, kus väiksem täht, enamasti valge kääbus, imeb tasapisi endasse ainet oma paarilise küljest. Hetkel, mil kääbus saavutab kriitilise, umbes 1,35 Päikese massiga võrdse massi, muutub tema tuum piisavalt kuumaks, et toimuma hakkab uut energiat vallandav süsiniku tuumade ühinemine. Leiab aset mitukümmend päeva vältav võimas supernoova plahvatus, mis tänu sarnasele algmassile on iga kord ligilähedaselt sama absoluutse maksimaalse heledusega.

Kõnealustes projektides skaneerisid kosmoseteleskoobid pidevalt taevast, et registreerida selliseid sähvatusi kaugetes galaktikates. Võrreldes supernoova meile nähtavat heledust tema eeldatava absoluutse heledusega (nagu see paistaks vaatlejale supernoova lähedal) saab arvutada supernoova kauguse. Uurides supernoova spektrijoonte punanihet saab jällegi leida, kui palju on universum plahvatuse hetkest saati paisunud. Supernoovade uurimismeeskondade juhid Saul Perlmutter ning Brian Schmidt ja Adam Riess teenisid töö eest 2011. a Nobeli preemia. Nimelt tõi andmete analüüs välja, et umbes viimased viis miljardit aastat on universum paisunud kiirenevalt. Universumi vanus tuli ümber hinnata enam kui 13 miljardile aastale ja tähtede eluea paradoks lahenes kenasti.

Lisaks supernoovadele toetub kaasaegne kosmoloogia reale vastastikku täiendust pakkuvatele vaatlustele: kosmiline mikrolainelise taustkiirguse spekter ja häiritused, galaktikate jaotuse statistika jne. Nende alusel avanev uus kosmoloogiline standardmudel ütleb, et kui kehtib üldrelatiivsusteooria, siis universumi energiatihedusest umbes 5% annab tavaline aine, 25% tumeaine, kiirguse osa on 0,01% ning ülejäänud 70% moodustab midagi muud. Selle muu komponendi energiatihedus on jäänud ruumi paisumisel enam-vähem konstantseks (nn. barotroopne indeks w≈-1), kusjuures sellele muule komponendile iseloomulik negatiivne rõhk paneb universumi kiirenevalt paisuma. Lihtsaim lahendus on samastada see muu komponent kosmoloogilise konstandiga, sest vastavad omadused klapivad.

Paljud erinevad vaatlused nagu supernoovad (SNIa), barüonide akustilised ostsillatisoonid (BAO), mikrolaineline taustkiirgus (WMAP5), galaktikaparvede kasv (Cluster growth) ja galaktikaparvedes röntgenkiirgust emiteeriva gaasi osa (fgas) kokkuvõttes osuta Autor: arxiv.org/abs/1307.8152

Muu komponendi barotroopse indeksi sõltuvus punanihkest z (mida suurem z, seda kaugem minevik), arvestades mikrolainelist taustkiirgust (Planck2015) ja BSH (barüonide akustilised ostsillatsioonid + supernoovad + Hubble parameeter). Kosmoloogiline konstant Autor: arxiv.org/abs/1502.01590

Kui varajases universumis domineeris kiirgus ja seejärel aine, siis universumi paisumisel nende tihedused kahanesid, kosmoloogilise konstandi oma aga jäi samaks. Nõnda muutus kosmoloogilise konstandi osakaal universumi energiabilansis järjest olulisemaks ning paisumise jätkudes domineerib konstant üha enam. Selles mõttes paistab, et elame heas lähenduses de Sitteri universumis! Kosmoloogilisele konstandile vastab tihedus 1,5⋅10^-25kg/m³ (esitatuna massitiheduse ühikutes). See on palju kordi väiksem maiste asjade tüüpilisest tihedusest (10³kg/m³), aga ka tähtedevahelise hõreda gaasi tihedusest (10^-19kg/m³).

“Maiste asjade ja isegi galaktikate käitumist kosmoloogiline konstant ei mõjuta. Mõju ilmneb alles tõeliselt kosmoloogilistes mastaapides, kus galaktikaparved ja -superparved üksteisest kiirenevalt kaugenevad,” selgitab astrofüüsik Peeter Tenjes Tartu observatooriumist.

Laur Järv on Tartu ülikooli teoreetilise füüsika vanemteadur.