"Matemaatikaga sõbraks saamiseks tuleb sellesse suhtesse aega investeerida, sellest pole pääsu. Kui seda aga teha, aitab ta avada väga palju erinevaid uksi. Matemaatika ei anna pelgalt oskust arvudega ringi käia, vaid ka oma mõtteid lihtsamini kirjeldada, ritta seada, neist ise paremini aru saada ja lõpuks teistele selgitada, kuidas jõuda mõtte- ja pärisilmas punktist A punkti B," sõnas Aru, kümmekonna aasta eest ülimenukaks saanud "Matemaatika õhtuõpiku" üks autoritest.

Matemaatika keelest ja meelest

Praegu Genfi järve ääres Šveitsi Föderaalses Tehnoloogiainstituudis Lausanne's matemaatikat uuriv ja sealsamas loenguid andev teadlane märkis, et matemaatika keelega võrdlemine on teatud piirini igati kohane. "Tavakeeles võime kirjeldada oma igapäevaelu võrdlemisi lihtsalt. Kui tahame aga öelda natukene ilusamalt, täpsemalt või end kiiresti arenevas maailmas kõigile arusaadavalt väljendada, peame oma sõnavaraga pidevalt tööd tegema – matemaatikas on samamoodi," laiendas Aru.

Veel paremini tuleb analoogia välja uut võõrkeelt õppides. Nagu võib esialgu ühtse vooluna tunduv võõrkeelne häälikuvulin muutuda kriitilise läve ületades ühtäkki kultuuriklassikaks, ilmub ka matemaatiliste sümbolite taha tähendus. Kõik see võtab oma aja. Kui emakeele lihvimiseks avaneb võimalusi sisuliselt iga minut, võib matemaatika praktiseerimine piirduda mõne puhul aga vaid koolitundidega. See tekitab paratamatult keeleliste ja matemaatiliste võimete arengus lõhe.

Lisaks on matemaatilisel väljendusviisil omad olemuslikud eripärad. "Me püüdleme lihtsate ja paljut hoomavate kirjelduste poole, mis on juba oma olemuselt abstraktsed, sest tahame näha pealtnäha täiesti erinevate nähtuste taga olevaid mustreid," sõnas Aru. Lihtsakoelise näitena saab kirjeldada samade struktuuridega sotsiaalvõrgustikke, logistilisi kaarte või isegi aju.

Matemaatika võime ümbritsevaga suhestuda ilmestab matemaatiku sõnul, kuidas matemaatilist rõõmu võib tunda igaüks. "Jah, peame õppima teatud algstruktuure, et me ei kobaks täielikus pimeduses. Kui meil on aga mahti nende üle rahulikult mõelda, võime ühel hetkel tajuda, kuidas matemaatika aitab meil mõista, mida meid ümbritsevad protsessid meile öelda tahavad; võime tunda avastamisrõõmu iidsetest, kuid lihtsatest ideedest, mis on meie maailmataju tohutult lihtsustanud – nagu näiteks kasvõi arvu kümnendesitlus," arutles Aru.

Avastamisrõõmu otsingud

Eeskätt nooremas eas võib olla vilumuse saavutamiseks tarviliku pingutuse ja avastamisrõõmu tundmiseks piisava aja vahel kompromissi leidmine paras pähkel. Juhan Aru sõnul võiks selle nimel siiski pingutada. "Mul pole selgeid seisukohti, kuidas võiks kooliprogrammi parandada, kuid igal aastal võiks ehk mõnel ümarlaual mõelda, kas see, mida me põhi- ja keskkoolis õpetame, on ikka täna oluline," märkis assistentprofessor.

Aru tõi paralleeli Cambridge'i Ülikoolist, kus õppetöökomisjon tegi vastavalt saadud tagasisidele programmis muudatusi enne iga uut õppeaastat.

Suur osa Eestis elavatest täiskasvanutest võivad praegugi tunda, et pole suuremat osa neile matemaatikatunnis õpetatud tehnikatest ja ideedest pärast kooli lõppu kasutanud. Aru rõhutas, et see ei tähenda, et oleks olnud tegu maha visatud ajaga. "Me ei pruugi kõike õpitut kasutada, kuid neist igaüks avardab vaateviisi ja mõttemustreid… vähemalt siis, kui meil on võimalus nende üle veidi mõtiskleda," sõnas matemaatik.

Siinkohal tulebki välja praeguse kooliprogrammi üks kitsaskohtadest. "Kui üksikute teemade jaoks jääb aega liiga väheks, muutub matemaatika igavaks retseptikogumikuks, millest enamikku ei hakka suurem osa inimestest eales meenutama. Samas pole aga need kindlasti lihtsad valikud, mida võtta ja mida jätta, et jääks rohkem aega juurelda" nentis Aru.

Miks otse, kui saab ringiga

Kuigi matemaatika tekitas olümpiaadidel ja võistlustel Juhan Arus hasarti juba keskkoolis, jõudis ta matemaatiku elukutseni pika ringiga. "Keerukamatele probleemidele lahenduse leidmine pakkus mulle rõõmu. Sellist arusaamist ja eelteadmist mul siiski polnud, et matemaatika haarab mind ühel päeval endasse ega lase enam lahti," selgitas Aru.

Gümnaasiumi lõpetamise järel läks tulevane matemaatik õppima hoopis biofüüsikat, lõpetades pärast hea sõbra, andmeteadlase Leopold Partsi külastamist lõpuks Cambridge'i Ülikooli. "Ilusaid mõtteid, vanu maju ja kummitusi oli liiga palju, et sellele vastu panna," lisas Aru. Kuigi esialgu kandideeris ta isegi siis matemaatilise füüsika erialale, tegi elu oma korrektuuri – kuna praktikumid algasid tema jaoks ülekohtuselt vara, jäi füüsika tahaplaanile ja avas tee teisele jõule – puhtale matemaatikale.

"Ka pärast bakalaureusekraadi matemaatikas tahtsin endiselt midagi eluliselt kasulikku teha. Üritasin minna tagasi bioloogia peale, kuid ühel hetkel hakkasin õhtuti matemaatika peale mõtlema ja nii iga päev. Loengutes käies tundusid bioloogias osad loengud huvitavad, ent matemaatikas oli mõnikord kõik sedavõrd ilus, et hakkasin naeratama," meenutas Juhan Aru.

Nõnda tegi ta viimaks matemaatikas uue magistrikraadi ja võttis selle oma südameasjaks ka doktoriõpingutes: "Kui miski paneb hinge helisema, siis pääsu pole."

Aru nentis, et akadeemilisele maailmale iseloomulikult jääb karjääri edenedes puhtalt oma aega ja vabadust vähemaks isegi matemaatika vallas. Selle teeb küllaga tasa võimalus olla loominguline ja jagada oma kirge tudengitega. "Matemaatika on praeguseks minu jaoks sõltuvus, õnneks küll teistele ja endale kahjutu sõltuvus, kuid mulle tõesti meeldib, kui saan veeta vaikseid päevi matemaatika seltsis, nagu mõni teine mängib tennist või kuulab muusikat," sõnas assistentprofessor.

Vestlused oma neuroteadlasest venna Jaan Aruga on kinnistanud samal ajal veendumust, et päris kõige jaoks pole mõtet kohe kõige uudsemat matemaatikat appi võtta. Suuresti taandub see tõlkeprobleemile. "Kui üritame matemaatilise mõtlemisega minna hopsti poliitiliste või psühholoogiliste probleemide kallale, ei tule sellest suurt midagi välja. Juba kõiki eeldusi on väga raske paika panna, et tarvilikku mudelit ehitada," selgitas matemaatik.

Isegi kui taolisi keerukamaid väljakutseid õnnestub matemaatiliselt või algoritmiliselt kirjeldada, võib selle käigus probleemi enda sisu kaotsi minna, teisisõnu tuleb olla ettevaatlik.

"Samas matemaatiline mõtlemine aitab meid kindlasti igal pool, kasvõi juba seepärast, et aitab eristada eeldusi ja järeldusi ning seeläbi järjest arvulisemaks ja algoritmilisemaks minevas maailmas paremini orienteeruda. Iga otsuse juures pole ehk mõtet selle tööriistu siiski kasutada, mõnikord saab ka ilma" lisas Aru.

Matemaatiku argileib

Matemaatik tõdes, et sarnaselt teistele alusteadustele ei pruugi olla kohe selge, millal või kas üldse matemaatika vallas tehtavatest avastustest kasu tõuseb. Isegi kui minevik siiski selle arendamise kasulikkusele viitab, ei peaks olema näiteks SKP kasv või uued leiutised Juhan Aru arvates matemaatika peaeesmärk.

"Enda sellistesse raamidesse surumine piirab meid ennast ja meid inimkonnana laiemalt. Luuletaja Paul Celan ütles, et luule on vaba. Ma ütleks samamoodi, et matemaatika on vaba ja seda ei tasu üritada suukorvistada. Ta võib öelda midagi väga abstraktset ja arusaamatut, mis võib osutuda tulevikus kasulikuks," leidis ise neli luulekogu ilmutanud Aru.

Teda ennast paelub matemaatika vallas kõige laiemas plaanis struktuuride ja juhuslikkuse koosmäng. Sellest aimu andva näitena võib vaadata õhumasside liikumist, mis toimub lugematute molekulide omavaheliste kokkupõrgete tõttu. Nõnda peaks saama õhu käitumist kirjeldada ka üksikute molekulide käitumise abil. Molekule on aga nii palju, et see on juba puhtpraktiliselt võimatu ja füüsikud kasutavad sellega seonduvate keerukuste lihtsustamiseks makroskoopilisi võrrandeid.

"Viimased 120 aastat on olnud vastamata küsimus, kuidas molekulidele rajanevast dünaamikast saab matemaatiliselt minna võrranditeni, mis kirjeldavad tiheduse muutumist ajas ja ruumis. Teisisõnu, kuidas täielikult juhuslik uitliikumine paneb suuremal skaalal aluse lihtsatele struktuursetele diferentsiaalvõrranditele," selgitas Aru. Vähemalt osaliselt seda kirjeldav tõestus ilmus matemaatikute arhiivis alles selle aasta augustis. "See pole päris see valdkond, millega ma otseselt tegelen, aga seotud minu huvidega, kuidas tekivad teatavad struktuurid juhuslikes komplekssüsteemis ja neid kirjeldada saab," lisas assistentprofessor.

Taseme võrra täpsemaks minnes saab rääkida kahest Aru huvidega seonduvast mudelist. Neist esimene puudutab juhuslikku liikumist, mis ilmneb näiteks münti visates ja selle põhjal üles-alla ning paremale-vasakule liikudes. Tekkivat geomeetriat kaugelt vaadates vastab see Browni liikumisele.

"Seda saab kirjeldada juba üsna lihtsa, kuid ilusa matemaatilise struktuuri abil - juhusliku protsessina," sõnas Aru. Ilu tähendab siinkohal seda, et tekkivad juhuslikud struktuurid näevad neid ükskõik millise nurga alt vaadates statistiliselt samasugused välja. Seda aga ainult juhul, kui vaadata neid piisavalt kaugelt. "Tegelen küsimustega, kuidas tekivad sellised statistilised sümmeetriad suurematel tasemetel," selgitas matemaatik.

Teine näide Aru uuritavatest mudelitest puudutab perkolatsiooni. Seda kohtab näiteks gaasimaskide poorset materjali uurides ja seda lihtsustatult kirjeldades. Muu hulgas tuleb selleks kirja panna panna, kas iga poor on teistest sõltumatult mingi tõenäosusega lahti või kinni. "Informatsioon on jällegi mikroskoopilisel tasemel, aga vaatlus on makroskoopiline – gaas kas pääseb läbi või ei. Sellele lisaks võid küsida, milline on gaasimaski geomeetria ehk milliseid kanalivõrgustikke tekib," sõnas Juhan Aru.

Päris elule lähemalt tulevad sarnased mudelid ilmsiks näiteks aju toimimise kirjeldamisel, kuigi need on matemaatiliseks uurimiseks veel liiga keerulised. Iga üksik neuron näib seda erutades käituvat üsna juhuslikult. Neid hulgaliselt kokku pannes tekib aga nägemine, enesetunnetus ja kõik muu, mis inimesed inimeseks muudab.

Mõlema mainitud mudeli ühendav lüli on statistiline füüsika. Aru peamine uurimisobjekt on Gaussi vaba väli, mis on lihtsaim mudel juhuslikule kõrgusfunktsioonile. See kujutab otsest üldistust Browni liikumisest ja kirjeldab trummikilede liikumist eri võngete summana. Iga võnke amplituud on sõltumatu muutuja.

"Varem uurisin sellega objekti enda geomeetriat, millised on tema samakõrgusjooned ja pikimad tipud jne. Nüüd kasutan seda sõbrana, kellega uurida mitmeid teisi objekte statistilisest füüsikast," selgitas matemaatik.

Üksikud mäetipud

Kui kooliõpikutesse vaadates võib jääda mulje, nagu poleks matemaatika viimase sajandiga kuigi palju muutnud, käib teadusharu äärealadel pidev piiride nihutamine. Süvenev spetsialiseerumine tähendab samas, et päris tipus võib uluda üksindus ja tühi tuul. "Inimesi, kes suudavad sinu artiklitest suurema investeeringuta aru saada ja sellest rõõmu tunda, on vast mõni käputäis," tõdes Juhan Aru.

Siiski, järgnenud aastate vältel tegeletakse aga pidevalt uute edusammudetõlgendamise ja lihtsustamisega, misläbi muutuvad need ühel hetkel laiemale auditooriumile jõukohaseks klassikaks. Nõnda võiks võrrelda seda Aru sõnul kaasaegse kunstiga. "Kõige uuenduslikuma kunsti, kirjanduse või muusikaga tegeleb samamoodi väga vähe inimesi. Nende töö mõjutab aga järgmisi ja see jälle järgmisi ning nii jõuavad selle harud lõpuks meie kõigini," arutles matemaatik.

Spetsialiseerumise suurema varjupoolena võib kannatada teaduse üks põhialuseid – eelnevate tulemuste õigsuses veendumine, millel rajaneb teaduse iseparanduvus. "Tõsisemad matemaatikaalased tööd on tänapäeval 100–200 lehekülge ja neid ei saa enne magamaminekut päris ilukirjandusena lugeda," lisas Aru. Siiski oli ta veendunud, et aja jooksul töötatakse vähemalt olulised tulemused piisavalt hästi läbi, et nende paikapidavuse osas tekib piisav kindlus.

Olemuslikumalt on küsimus ka kogukonnasiseses väärtustamises. "Me peaks ilmselt väravalöömise kõrval rohkem väärtustama ka kaitsemängu, keskväljamängu. Teaduses saab praegu kahjuks samamoodi määratult suurema au, raha ja kuulsuse see, kes paneb kirja uue tõestuse või teeb uue avastuse - ehk kes lööb värava. Samas ilma taustal toimuva pideva kogukonnatöö ja vundamendi parandamiseta ei saaks neid avastusi aga üleüldse teha," selgitas assistentprofessor.

Arust ja tehisarust

Mõningast leevendust puhtalt tõestuste kontrollimiseks võib pakkuda tehnoloogia. Juhan Aru sõnul tegeletakse üha enam matemaatika formaliseerimise ehk matemaatiliste argumentide sümboolsesse loogikasse tõlkimisega ja seda ka uute tõestuste puhul.

Taoline formaliseerimine annab võimaluse kasutada nende õigsuses veendumiseks arvutite abi. "Meist mitte keegi ei tea täpselt, kui kiiresti masinõpe areneb, aga me ei tohiks alahinnata võimalust, et ühel hetkel ehk isegi üsna varsti, hakkab see ise tõestusi välja pakkuma. Võime küsida, mis siis meie rolliks jääb. Mina näen selles küsimuste küsimist," leidis Juhan Aru.

Teisisõnu muutub tehniliste oskuste ja loominguliste lahenduste otsimise kõrval üha olulisemaks uurimisobjektide valimine ehk see, millistest nähtustest inimesed üleüldse aru saada tahavad. Tehisaru-entusiastid võivad väita loogilise jätkuna, et masinate arenedes võivad hakata need küsima inimestest isegi paremaid küsimusi.

"Kõik on õige. Aga mul on selle vaatenurgaga siiski probleem. Mida see paremus siis enam üldse tähendab? Mulle näib, et niimoodi arvates on väga lähedal juba olemuslikumad küsimused... Samamoodi pole see väga kaugel diktaatorlikest režiimidest, kes otsustavad ühtäkki, et just nemad teavad täpselt, mis on lihtinimesele hea ja õige," arutles Aru: "Kui meie tehtaval matemaatikal pole meie enda jaoks enam mõtet, võib ju edasi küsida, mis on veel meie eksistentsi mõte ja olemegi ehk kõik natukene metafüüsilises mudas."

Isegi kui matemaatiku elukutse olemus võib seeläbi lähikümnenditel muutuda, pidas Aru selle õppimist selle teiste hüvede tõttu turvaliseks valikuks. "Eestis ei ole hakatud matemaatikaharidust väärtustama veel sama palju kui lääne pool, kuid Lääne-Euroopas või USAs on matemaatikud palgaedetabelites üsna kõrgel kohal. Olulisem on siiski ehk matemaatikaõpingutega tekkiv ühtpidi kvantitatiivne ja samas kõhklev mõtlemine, mis aitab maailma teises valguses näha," sõnas assistentprofessor.

Samuti ei tohiks peljata matemaatika juurde pöördumist hilisemas elus. "Mulle meeldiks, kui inimesed matemaatikast rohkem rõõmu tunneks ja miks mitte, hakkaksid sellega tegelema ka vanemas eas, nagu rokkmuusika või maalimise või näitlemisega. Esialgse barjääri ületamine võib olla hästi kirjutatud raamatute nappuse tõttu raskem, aga selleks aega võttes on see täiesti võimalik ning rõõm ja rahu garanteeritud!" leidis Juhan Aru.