Olles käinud vaatlemas matemaatikatunde, olen näinud matemaatika õpetamiseks väga erinevaid viise. On palju huvitavaid tunde, kus õpetaja kasutab lisaks õpikuülesannetele reaalse eluga seotud näiteid, mille kaudu õpilased saavad matemaatikast paremini aru, kirjutab Tallinna Ülikooli loodus- ja terviseteaduste instituudi teadur Hardi Sigus.

Näiteks lahendavad nad matemaatikaülesandeid koos rühmades, proovivad leida seoseid igapäevaeluga ning selgitavad hiljem üksteisele, mida ja kuidas keegi tegi. Et selliseid ülesandeid välja mõelda ja ellu viia, vajab aga õpetaja palju aega ja oskusi.

Samas annavad mõned õpetajad Eesti koolides endiselt ka tunde, kus õpilased võtavad tunni alguses töövihiku lahti, otsivad üles etteantud lehekülje ning lahendavad järgmised 45 minutit järjest x-iga ülesandeid. Kui seda lastakse teha aastaid, võib õpilases kujuneda arusaam, et matemaatika on keeruline ja igav õppeaine, mis tuleb lihtsalt ära teha.

Kuidas teha aga paremini? Kuidas jõuda selleni, et õpilane mõtleks matemaatikast kui millestki arusaadavast, olulisest ja päriselus vajalikust?

Lahknevus päriseluga

Oma doktoritöös uurisin muu hulgas seda, kuidas Eesti õpilased lahendavad ülesandeid, kus tuleb mõista matemaatika seost päriseluga. Uuringus andsime õpilastele näiteks järgmise ülesande:

Isa ostis aia parandamiseks viis puulatti, igaüks pikkusega 1,2 meetrit. Mitu ühemeetrist latti sai ta ostetud lattidest?

Meie hinnangul oli õige vastus viis, kuid enamik 6. klassi õpilasi vastas, et isa sai kuus meetrist puulatti.

Miks selline viga tekib? Õpilased võivad olla harjunud matemaatikaülesandeid lahendama eelkõige etteantud arvude põhjal. Nad näevad ülesandes arve 5 ja 1,2, teevad nende vahel tehte ning kirjutavad vastuse. Matemaatiline arvutus võib seejuures olla õige, kuid küsimus, mida need arvud päriselus tähendavad, jääb läbi mõtlemata.

Matemaatika kui eluline vahend

Kujutame ette, et sama ülesanne oleks osa kooliprojektist. Õpilased saaksid meeskondades ülesande ehitada puitlattidest silla mudeli. Selleks tuleks kõigepealt välja mõelda konstruktsioon, arvutada vajamineva materjali kogus, minna ehitusmaterjale ostma, mõõta ja saagida latte ning lõpuks kontrollida, kui suurt koormust kannab valmis sild.

Sellisel juhul muutuks matemaatika õpilase jaoks ilmselt sagedamini tähenduslikuks. Õpilane saaks ise kogeda, et 1,2-meetrisest latist ei saa lihtsalt teha 1,2 meetrit kasutatavat materjali. Saagides läheb osa materjalist kaduma. Samuti ei saa 18–20 sentimeetri pikkuseid ülejääke lõputult kokku liimida ja eeldada, et neist saab tugev ja koormust kandev latt.

Sellises projektis muutuks matemaatika üheks vahendiks, mille abil lahendada päris probleemi. Samal ajal oleks tegemist mitut õppeainet ühendava tegevusega: matemaatikas arvutatakse ja modelleeritakse, füüsikas uuritakse jõude ja konstruktsiooni tugevust ning praktilise ja loovtöö käigus kavandatakse ja ehitatakse sild. Valmis sildu saaks koolis ka teistele esitleda ja nende vastupidavust katsetada.

Valemite isiklik mõõde

Samuti saame keerukamaid matemaatilisi mõisteid ja valemeid näitlikustada, luues olukordi, kus õpilasel tekib õpitava teemaga isiklik kogemus. Näiteks viisime Tallinna Ülikooli uurimisrühmaga Eesti koolides läbi sekkumisuuringu, kus õpilased õppisid lineaarfunktsiooni oma kogemuse kaudu.

Seitsmendas klassis õpitakse lineaarfunktsiooni tavaliselt kujul: y=ax+b.

Kui öelda, et, ax on lineaarliige, a on lineaarliikme kordaja ja b on vabaliige, võib õpilase jaoks jääda üsna abstraktseks, mida need tähed tegelikult tähendavad ja kuidas need omavahel seotud on. Selgitamaks nende sümbolite tähendust ja omavahelisi suhteid, andsime uuringus õpilastele ülesande välja selgitada, kui kaua kulub aega, et nende juuksed kasvaksid ühe meetri pikkuseks.

Teada oli, et keskmiselt kasvavad juuksed 1,25 sentimeetrit kuus. Koduse tööna mõõtis iga õpilane oma juuste olemasoleva pikkuse ja pidi leidma lahenduse. Nii said abstraktsed valemid paberil konkreetse tähenduse.

Kui õpilase juuksed olid näiteks mõõtmise hetkel 5 sentimeetrit pikad, sai koostada funktsiooni y=1,25x+5, kus y tähistab juuste pikkust sentimeetrites, x möödunud aega kuudes, a=1,25 juuste kasvukiirust ning b=5 juuste algpikkust. Nüüd ei olnud a ja b enam lihtsalt tähed valemis, vaid õpilane sai kogemuse, mida need konkreetses olukorras tähendavad.

Kui eesmärk on leida aeg, mille jooksul juuksed kasvavad 100 sentimeetri pikkuseks, saab õpilane lahendada: 100=1,25x+5, mille tulemusena saab teada, et selle lihtsustatud mudeli järgi kuluks umbes 76 kuud ehk veidi üle kuue aasta.

Uuringust tuli välja, et sellised elulised ja probleemipõhised ülesanded meeldisid õpilastele rohkem kui standardsed õpikuülesanded. Veel olulisem on see, et õpilased said arutleda ka mudeli enda üle. Kas juuksed kasvavad tegelikult iga kuu täpselt 1,25 sentimeetrit? Kas kasvukiirus on kõigil inimestel sama? Mis võib tulemust mõjutada? Nii ei tähenda matemaatika enam lihtsalt valemi rakendamist, vaid võimalust kirjeldada päriselu nähtust ja selle üle arutleda.

Õpikuülesannetest kaugemale

Sellise lähenemise puhul, kus õpilased õpivad lahendama elulisi probleemülesandeid, kerkib kohe esile järgmine küsimus: mida me tahame, et kooli lõpetanud inimene oskaks? Kui eksamitel hinnatakse peamiselt seda, kas õpilane oskab kiiresti ja korrektselt lahendada etteantud tüüpi ülesandeid, on üsna loogiline, et õpetajad õpetavad seda oskust ja õpilased treenivad standardsete ülesannete lahendamist.

Kui aga soovime, et õpilane oskaks matemaatikat kasutada uues ja talle varem tundmatus olukorras, peab ka seda oskust hindama. Sarnasele küsimusele on aastakümneid mõeldud ka Taanis. Taani niinimetatud KOM-projekt (Competencies and Mathematical Learning) käivitati 2000. aastate alguses ning selle eesmärk oli muu hulgas mõtestada, milliseid matemaatikapädevusi inimesed vajavad.

Selle lähenemise keskmes on lisaks matemaatiliste mõistete ja protseduuride õppimisele oskus kasutada matemaatikat mitmesuguste probleemide lahendamiseks. Õpilased võivad tegeleda näiteks küsimustega: kui palju õpilasi peaks üksteise kukil seisma, et ulatuda klassiruumi laeni? Kui palju maksab lemmiklooma pidamine? Või kui palju elektrituulikuid oleks Taanil vaja? Selliste ülesannete puhul ei ole keskne ainult küsimus, kas õpilane jõuab õige vastuseni.

Oluline on seegi, kas õpilane üldse mõistab, et ta võib selle probleemi lahendamiseks matemaatikat kasutada. Kas ta oskab olukorda matemaatiliselt mõtestada, valida sobivat lahendusviisi, oma mõttekäiku põhjendada ning hinnata saadud tulemuse mõistlikkust? See erineb väga palju sellest, kui õpilane õpib ära teatud tüüpi ülesandeid ja kontrolltöös vaatab, millise standardse mudeliga teatud ülesandeid lahendada.

Kooli eesmärk

Õpilane, kes on aastaid harjutanud standardsete õpikuülesannete lahendamist, saab sellega ilmselt paremini hakkama kui õpilane, kes on harjutanud eelkõige päriseluliste probleemide lahendamist. Ja vastupidi: kui anda mõlemale uus olukord, kus tuleb ise otsustada, kuidas ülesanne lahendada, ei pruugi kõige vilunumast standardsete õpikuülesannete lahendajast saada kõige paremat probleemilahendajat.

Peame seetõttu küsima, milliseid oskusi me koolis tegelikult väärtustame. Kui soovime, et õpilane oskaks matemaatika abil mõista maailma, lahendada päriselu probleeme, teha põhjendatud otsuseid ja hinnata, kas saadud vastus on üldse mõistlik, tuleb teha muudatusi. Üle võiks vaadata õpikud ja õppematerjalid. Osa ülesandeid saab muuta elulisteks probleemülesanneteks. Hindamissüsteem võiks olla selline, et õpilane saaks selgitada oma lahenduskäiku.

Õpetajatele tuleks pakkuda täienduskoolitust, et nad oskaksid toetada paremini eluliste ülesannete lahendamist. Koolid vajavad aga sinna juurde piisavalt tugipersonali, kes aitaks selliseid muutusi kavandada ja ellu viia.

Kasutatud kirjandus
Højgaard , T. (2025). Enhancing mathematical modelling competency through textbook design. American Journal of Education and Learning, 10(2), 95–116. https://doi.org/10.55284/ajel.v10i2.1504
Mädamürk, K., Kilp-Kabel, T., Sigus, H., Korbelainen, A., Jõeloo, P., & Soika, E. (2020). Lineaarfunktsiooni ja matemaatikapädevuse ülesannete kogu 7. klassile [Õppematerjal]. e-Koolikott. https://e-koolikott.ee/et/oppematerjal/d7856f15-9a1d-4d13-be75-82cad2b5e5dc

Hardi Sigus on Tallinna Ülikooli psühholoogiadoktor. Sigus uuris oma doktoritöös, milliseid teadmisi ja oskusi vajavad põhikooliõpilased matemaatika õppimiseks. Teadustööni viis teda uudishimu selle vastu, millest asjad ja nähtused koosnevad. Ta panustab vabatahtlikuna Eesti Kogelejate Ühingu tegevusse, teeb natuke sporti ja loeb luuletusi.

Artikkel ilmus Eesti Teaduste Akadeemia ja Eesti Doktorikooli korraldataval konkursil "Teadus 3 minutiga" projekti "Ülikoolide koostöö doktoriõppe edendamisel" (kaasrahastab Euroopa Liit) toetusel. Konkursi finaal toimub 6. oktoobril.