Kõik meist on kuulnud erinevaid väiteid matemaatika kasulikkuse kohta. Ilma matemaatikata poleks meil ei teid ega sildu, ei arvuteid ega nutitelefone, sinu seljas olevat mugavat pluusi või käes hoitavat pliiatsit. Aga oled sa ka mõelnud, kui ilus matemaatika tegelikult on? Matemaatika ilu märkamine, selle hindamine ning ilusate matemaatiliste seoste otsimine on kindlasti olnud üks peamine tõukejõud teaduse tegemisel, aga see sama jõud peaks toetama ka koolis ning koolimatemaatikas tehtavat.

Viimasel ajal on meediasse jõudnud päris mitu kooliõpilastele mõeldud matemaatilist – tihti loogikaga seotud – probleemi. Uudiskünnise on ülesanded ületanud, kuna tunduvad täiskasvanutele ülimalt keerulised. Alles nädala alguses kirjutas The Guardian kahest ülesandest, kus ühes tuli välja juurida teistest erinev kujund ja teises leida puuduv arv. Esimene ülesanne on aju virgutamiseks. Teine ülesanne sisaldub Hong Kongis lasteaialastele algkooli sisseastumise testis. Neile antakse selle lahendamiseks 20 sekundit aega. 20 sekundit peaks andma vihje, et vastus peab olema lihtne. Ülesannete vastused on kirjas artikli lõpus.

1) Milline kujund siia ei sobi?

Ülesanne Tanya Khovanova matemaatikablogist

2) Millise numbriga kohale on auto pargitud? Aega mõelda 20 sekundit nagu lastel, kellelt seda algkooli astudes küsitakse!

Ülesande autor: David Bodycombe. Joonis: Ave-Lii Idavain

Briti füüsik Paul Dirac on öelnud enda ja Austria füüsik Erwin Schrödingeri tegevuste kohta, et neid saatis kogu aeg usk sellesse, et kõige põhilisemaid loodusseadusi peaksid kirjeldama tõeliselt ilusad ning elegantsed matemaatilised võrrandid. Aga mida tähendab see, kui ütleme, et mingi teoreem või tõestus või lahenduskäik või geomeetriline kujund või konstruktsioon on ilusad?

Vana-Kreeka pütaagorlased arvasid, et ilu peitub sellistes matemaatilistes konstruktsioonides, kus matemaatiliste seoste abil on võimalik esialgu täiesti eraldiseisvatest üksikult näivatest osadest täiuslik tervik põimida. Seda illustreerib kenasti juba koolis selgeks õpitud Pythagorase teoreem, mis ütleb, et täisnurkses kolmnurgas kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga ehk a²+b²=c². Seega, täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkus alati ära määratud kaatetite pikkustega. Kaatetite pikkuste asemel võib aga sama teoreemi sõnastada ka kaatetitele ja hüpotenuusile joonistatud ruutude pindalade seosena. Sellele väga lihtsalt sõnastatud seosele on „ilusa“ põhjenduse otsinguil leitud sadu erinevaid tõestusi.

Matemaatilisi teooriaid, mis on tõeliselt ilusad ja elegantsed (näiteks üldine relatiivsusteooria), on võrreldud kunstiga. Üldise relatiivsusteooria ilu peitub ruumi ja aja mõistete ühendamisel ja põimimisel, imelisel arusaamal, et nii keha mõõtmed kui ka vaadeldav ajaühik ei ole muutumatud, vaid sõltuvad liikumiskiirusest. Relatiivsusteooria juures saame rääkida ruumi kõverusest, painutamisest, venitamisest ja muidugi mustadest aukudest. Kõik see kõlab salapärane kui moodne või abstraktne kunst. Ka vanas Jaapanis peeti matemaatikat kunsti üheks osaks ning raamatukogus olid matemaatilised tekstid kõrvuti ikebanade tegemise õpetustega või teejoomise tseremooniaid käsitlevate raamatutega.

Oskus märgata ja hinnata matemaatika ilu peaks meie matemaatikahariduses väga olulisel kohal olema. Ilma selleta jääb inimestele kahjuks mulje matemaatikast kui väga igavast, kuivast ja vaid drillimist nõudvast ainest, kus raamatud on sama igavad kui näiteks vana-aja telefoniraamatud (Kas tänapäeva lapsed enam teavadki, mis telefoniraamat on?) Ilu märkamine ja mõistmine võib aga matemaatika elama ja särama panna rohkem kui ühegi teise asja, mida inimmõistus on loonud.

Ilu on väga tihedalt seotud ka sümmeetriaga. Me oleme kõik imetlenud kindale langenud lumehelbekest või lillelt lillele lendavat liblikat. Omamoodi „kuldne“ sümmeetria tuleb esile, kui mõelda Fibonacci arvudele, mida võib leida loodusest merikarpidel, inimese käevarrel, galaktika kujus, DNA molekulides või päevalilledes. Aga miks ei võiks ilu ollagi seotud veidi ebatäpsema ja ebatäielikuma sümmeetriaga, sest tegelikult meeldivad inimese meeltele üllatused. Keegi meist ei ole ju täiuslikult sümmeetriline, aga sellegipoolest peame üksteist ilusateks. Matemaatikas võib selliseks näiteks tuua fraktalid, kus pealtnäha kaose ja ebakorra all on peidus imeilusad matemaatilised seaduspärasused ja teatud sümmeetria. Suuresti ongi kogu matemaatika ülesandeks luua meid ümbritsevasse kaosesse korda seoste ja seaduspärasuste leidmise teel või erinevate alusstruktuuride lahti seletamise teel. Soov enda ümber olevat maailma mõista ning seletada on inimkonda edasi viinud aastatuhandeid.

Nauding õige lahenduse leidmisest

Matemaatilise mõtte ja tulemuse teeb ilusaks tema lihtsus ja selgus, aga ka sellega kaasnev jõulisus, mõtlemisel kasutatud kavalus ning rõõmus üllatus.

Tegelikult käivad ilusate tulemuste hindamisel lihtsus ja keerukus käsikäes. Isegi laste silmis ei võrdsustu ilus matemaatiline probleem kunagi mingi lihtsa ühetehtelise ülesandega. Ilusateks probleemideks on laste arvates näiteks pusled või geomeetrilisi konstruktsioone nõudvad ülesanded või arutlemist ja loogikat eeldavad ülesanded. Kõrgemal tasemel, kui me räägime lihtsusest, siis peame tavaliselt silmas mõne keeruka probleemi lihtsat ja arusaadavat lahendust või keeruliste matemaatiliste seoste olemasolu väitva teoreemi lihtsat ja kavalat tõestust ja miks ka mitte kompleksete struktuuride lihtsat esitamist. Seega tundub, et matemaatikas esteetikast rääkides, et saa me üle ega ümber lihtsa ja keeruka omavahelistest seostest.

Kui õpilasel on võimalus kogeda matemaatika ilu (toimugu see siis mistahes viisil vastavalt sellele, kuidas keegi seda ilu mõistab), suureneb ka õpilase motivatsioon matemaatikaga tegeleda ning paraneb tema suhtumine matemaatikasse. Kellel on huvi ülesannetega pusida ning numbrite ja arvude maailma kohta rohkem lugeda, siis Eestis peab matemaatikateemalist blogi näiteks matemaatik Erli Kontkar.
Pangem nii ennast kui ka oma lapsi mõtlema, vaatlema, loogiliselt arutlema ja ehk siis tuleb ka armastus!*

*Tammsaaret parafraseerides.

Vastused:
1. Esimene vastus on natuke keerulisem. Siin võib tuua põhjendusi mittesobimatuse kohta pea igale kujundile. Viimane ei sobi, sest ta on liiga väike. Eelviimane on ainuke roheline. Keskmine on erinevalt teistest ringikujuline. Teisel kujundil puudub must joon. Ainult esimene kujund on see, mis teistest kindla iseärasusega ei erine. Paradoksaalselt teeb just see esimesest kujundist selle, mis ritta ei sobi.
2. Selle ülesande vastus on lihtne – vaata pilti tagurpidi. Arvud jooksevad järjest.