Kaks doktoritööd aitavad mõista eksootilise ruumi eripärasid ({{contentCtrl.commentsTotal}})

matemaatika
matemaatika Autor/allikas: Vergilius Eremite / Wikimedia Commons

Viimase 15 aasta jooksul on paljud matemaatikud mitmel pool maailmas uurinud tavaarusaama jaoks eksootilise Banachi ruumi geomeetriat. Kuigi seni pole uuringutel praktilist rakendust, saab uutest teadmistest ilmselt tulevikus kasu lõigata. Tänavu kaitsti Tartu Ülikoolis kaks doktoritööd, mis andsid oma panuse suurte viilude fenomeni uurimisse Banachi ruumides.

Mida see suurte viilude fenomen endast kujutab ja miks seda uuritakse? Me kõik kujutame ette tavalist nn Eukleidilist tasandit. "Eukleidiline" tähendab siinkohal seda, et tasandi punktide vahelise kauguse all mõeldakse vahemaad nii-öelda linnulennult. Alati ei ole selline kauguse mõõtmine otstarbekas, sest mõnikord ei leidu ühest kohast teise viivat sirget ja tasapinnalist teed.

Näiteks New Yorgi tänavatel taksoga sõites saab mitmetes kohtades liikuda vaid nagu mööda koordinaatteljestiku ruudustikku ja kaugus kahe hoone vahel linnulennult on küll mõõdetav, kuid kohale jõudmiseks kuluva teepikkuse, aja või kütusekulu arvestamiseks ei ole sellest linnulennult mõõdetud kaugusest mingit kasu. Sellel põhimõttel tekib Eukleidilisest kaugusest erinev kaugus nn taksokaugus, mis rahuldab siiski kauguse intuitiivselt olulisi omadusi.

Matemaatiliselt on kauguse defineerimiseks veel mitmeid võimalusi. Näiteks võib tasandi punktide vahelise kaugusena vaadelda ka nn maksimumkaugust, kus kahe punkti vaheline kaugus on maksimum vastavate koordinaatide erinevuste absoluutväärtustest.

Kui valida koordinaattasandil kaks punkti ja moodustada täisnurkne kolmnurk nii, et need kaks punkti on hüpotenuusi otspunktid, siis võib piltlikult nende kauguste erinevust tasandil ette kujutada järgmiselt. Eukleidiline kaugus on lühim tee ühest punktis teise ehk kolmnurga hüpotenuusi pikkus, mis on Pythagorase teoreemi järgi võrdne kaatetite pikkuste ruutude summa ruutjuurega; "taksokaugus" on kaatetite pikkuste summa ja maksimumkaugus on pikema kaateti pikkus (vt joonis 1).

Joonis 1. Eukleidiline, "takso"- ja maksimumkaugus punktide a ja b vahel tasandil (vasakult alates). Autor/allikas: Tartu Ülikool

Praktikas on sageli vaja mõõta "kaugusi" teistsuguste objektide vahel, mitte ainult punktide vahel tasandil. Selline kauguse lahtimõtestamine võimaldab võrrelda, kui "lähedal" on erinevad objektid teineteisele ehk kui sarnased nad on. Näiteks arvutitel võrrandisüsteeme lahendades ei saada enamasti täpseid vastuseid, vaid lähend, mis peab tõelisele vastusele olema piisavalt "lähedal". Kahe arvu puhul on lihtne otsustada, millal nad on teineteisele piisavalt lähedal.

Paljude teiste objektide puhul ei ole nende "lähedus" üheselt mõistetav, sest on erinevaid tunnuseid, mille põhjal neid suureks või väikseks pidada. Näiteks kahe kerakujulise objekti puhul võiks neid mõõta nii ruumala kui massi järgi ja kuigi keeglikuul ja õhupall võivad olla sarnase suurusega, on nad väga erineva massiga. Ka funktsioonide puhul on erinevaid võimalusi, mille alusel neid võrrelda ja sarnaseks pidada.

Lõigus [0,1] pidevate funktsioonide puhul on kõige klassikalisem viis kahe funktsiooni f = f(t) ja g = g(t), t ∈ [0,1]  vaheline kaugus määrata järgmiselt:

 

Teisisõnu on kaks funktsiooni teineteisele lähedal, kui nende väärtused f(t) ja ühegi t ∈ [0,1] korral oluliselt ei erine (vt joonis 2). Lõigus [0,1] määratud integreeruvate funktsioonide puhul on kõige loomulikum kaugus kahe funktsiooni f ja g  vahel defineeritud kui integraal funktsioonide absoluutsest vahest:

 

Järelikult on kaks integreeruvat funktsiooni teineteisele lähedal, kui nende funktsioonide vahe funktsiooni f(t) – g(t), t ∈ [0,1] ,  joonealune pindala on väike (vt joonis 2).

Joonis 2: Vastavalt pidevate funktsioonide ja integreeruvate funktsioonide vaheline kaugus. Autor/allikas: Tartu Ülikool

Sellised funktsioonid on praktikas väga olulised, sest mitmed rakendusmatemaatika tehnikad eeldavad funktsioonide pidevust või integreeruvust. Seetõttu on neid palju uuritud ja uuritakse ka edaspidi. Lõigus pidevate funktsioonide ruum C [0,1] ja lõigus integreeruvate funktsioonide ruum L1 [0,1] on Banachi ruumid, millel on Daugaveti omadus. Sellise omadusega ruumide geomeetria erineb oluliselt sellest, mis meile intuitiivselt loogiline tundub. Näiteks on Daugaveti omadusega ruumides kõik keradest "lõigatud" viilud suure läbimõõduga. Järgnevas püüame selgitada, mida see tähendab.

Banachi ruumides piisab sageli kogu ruumi uurimise asemel tema ühikkera uurimisest. Kinniseks ühikkeraks nimetatakse hulka, kuhu on kogutud kõik elemendid, mille kaugus nullelemendist ei ole suurem ühest. Sellise kera raadius on 1 ja diameeter 2.

Tasub tähele panna, et Banachi ruumi kera ei pea olema kolmemõõtmeline ja olenevalt kauguse definitsioonist on kerad erineva kujuga (vt joonis 3). Kerasid saab vaadelda isegi lõpmatumõõtmelistes ruumides: ruumi C [0,1] ühikkeras on kõik need pidevad funktsioonid, mis lõigus [0,1] ei saavuta absoluutväärtuselt suuremat väärtust kui 1 ja ruumi L1 [0,1] ühikkeras on kõik integreeruvad funktsioonid, mille graafiku ja -telje vahele jääva osa pindala on ülimalt 1.

Joonis 3: Kerad Eukleidilise normiga, l∞-normiga ja l1-normiga kahemõõtmelises ruumis Autor/allikas: Tartu Ülikool

Järgmiseks uurime, mis on ühikkera viil. Võtame vaatluse alla mingi kera tasandil (ehk ringi). Viiluks nimetatakse selle kera lõiget pooltasandiga (üldisemalt poolruumiga). Pooltasandi saame, kui "lõikame" tasandi mingi sirgega pooleks. Kui see tasandit poolitav sirge läbib ka vaadeldavat kera, saame rääkida kera ja pooltasandi ühisosast (ühistest punktidest). See ühisosa moodustabki viilu (vt joonis 4).

Joonis 4: Näited vastavalt Eukleidilise ja maksimumnormiga kahemõõtmelise ruumi ühikkera viiludest Autor/allikas: Tartu Ülikool

Paneme tähele, et olenevalt sirge nurgast ja paiknemisest saame erinevaid viile. Eukleidilise kaugusega ruumi kera viilud erinevad ainult paksuse poolest, maksimumkaugusega ruumi viilud on aga ka erineva kujuga. Viilu diameetriks ehk läbimõõduks nimetame kõige suuremat kaugust, mis kahe viilu elemendi vahel võib olla.

Näeme, et Eukleidilise kaugusega ühikkerast saab igas suunas lõigata viilu, mis on kaduvväikese läbimõõduga. Maksimumkauguse korral on aga kui tahes õhukesed vertikaal- või horisontaalsuunas lõigatud viilud alati läbimõõduga 2. On üsna selge, et ühikkeras (mille raadius on 1) on maksimaalne võimalik diameeter just 2.

Seega maksimumkaugusega ruumis leidub alati kui tahes õhukesi kuid siiski "suuri" viile. Ometi, kui me valime viilu määrava pooltasandi mingi teise nurga all, saame ka maksimumkaugusega tasandil moodustada kui tahes väikese diameetriga viile. Varem mainitud lõpmatumõõtmelistes funktsiooniruumides c [0,1] ja L1 [0,1] on aga iga viilu diameeter 2.

Selleks, et Daugaveti omadusega ja sellele lähedaste diameeter 2 omadustega Banachi ruume paremini mõista, on esialgsete üldiste kirjelduste kõrvale tekkinud erinevaid lähenemisi, mis võimaldavad mingil määral "mõõta", kui sarnane on mingi Banachi ruum Daugaveti-omadusega ruumiga.

Üks uurimissuund käsitleb selliseid ühiksfääri elemente, millele leidub igas ühikkera viilus peaaegu kaugusel 2 olev element (vt joonis 5). Selliseid elemente nimetatakse Daugaveti-punktideks, sest Daugaveti omadusega ruumides on iga ühiksfääri element just selline.

Daugaveti-punkte võib aga leiduda ka ruumides, millel ei ole Daugaveti omadust. Võiks öelda, et mida suurem osa ühiksfääri punktidest on Daugaveti-punktid, seda enam sarnaneb ruum Daugaveti omadusega ruumiga. Nulliks koonduvate jadade ruumis c0 on iga viilu diameeter 2 nagu Daugaveti omadusega ruumides, aga seal ei ole ühtegi Daugaveti-punkti.

Järelikult on ka suurte viiludega ruumid omavahel küllaltki erinevad. Daugaveti-punktide nii-öelda lokaalsem lähenemine on perspektiivikas keerulise struktuuriga ruumides, mistõttu on see pälvinud mitmete uurimisrühmade tähelepanu, et rünnata suurte viiludega ruumide probleeme näiteks mittelineaarses analüüsis.

Joonis 5: Daugaveti-punkti x olemust selgitav joonis Autor/allikas: Tartu Ülikool

Daugaveti omaduse teistsugune kvantitatiivne edasiarendus on Banachi ruumi Daugaveti indeksid. Daugaveti indeks mõõdab, kui suure raadiusega keraga, mille keskpunkt asub ühiksfääril, saame me ühikkera viile katta (vt joonis 6). Koolis oleme kõik õppinud, et diameeter on kaks korda suurem kui raadius.

Uurimistöö tulemusena oleme aga näinud, et lõpmatumõõtmelistes ruumides pole see alati nii. Näiteks pidevate funktsioonide ruumis C[0,1] (ja üldisemalt Daugaveti omadusega ruumides) on iga viilu katva ja sfääril asuva keskpunktiga kera raadius sama suur kui ühikkera diameeter ehk 2 – selleks, et ükskõik, millist viilu katta, peame katma terve ühikkera.

Sisuliselt tähendab see, et Daugaveti omadusega ruumis viilud "ulatuvad igale poole" ühikkeras ja nende katmine on väga raske. Lõplikumõõtmelises ruumis sellist probleemi ei ole – kuna leidub kuitahes väikese diameetriga viile, siis leidub ka kuitahes väikese diameetriga kerasid, millega neid katta saame.

Joonis 6: Daugaveti-indeksi olemust selgitav joonis ruumis Autor/allikas: Tartu Ülikool

Suurte viiludega ühikkeradega Banachi ruumid on seni veel praktiliste rakendusteta uurimissuund. Kuna suurte viilude fenomen on omane mitmetele rakendustes olulistele funktsiooniruumidele, on tõenäoline tulevikus selliseid ruume paremini tundes sellest teooriast ka praktilist kasu lõigata.

Teoreetiline matemaatika käib enamasti praktilisest mitu sammu eespool. Näiteks sõnastas Johannes Kepler 1611. aastal  hüpoteesi, et kolmemõõtmeliste kerade kompaktseim pakkimise viis on nende ladumine kihtidesse nii, et iga järgmine kiht paigutatakse eelmisest jäävatesse nõgudesse.

Lahenduse otsimine suurema mõõtmega ruumides oli esialgu pelgalt teoreetiline üldistamine, kuid on tänaseks leidnud rakendust tol ajal ettekujutamatutes valdkondades nagu mobiilside ja internetiühendus. Niisamuti võib paljude aastate pärast saada käega katsutavat kasu ka suurte viiludega Banachi ruumide teooriast.

Täapsemalt saab tutvuda Katriin Pirgi doktoritööga "Diametral diameter two properties, Daugavet-, and -points in Banach spaces" ja Rihhard Nadeli doktoritööga "Big slices of the unit ball in Banach spaces" Tartu Ülikooli andmebaasis.

Toimetaja: Indrek Ojamets

Hea lugeja, näeme et kasutate vanemat brauseri versiooni või vähelevinud brauserit.

Parema ja terviklikuma kasutajakogemuse tagamiseks soovitame alla laadida uusim versioon mõnest meie toetatud brauserist: